6 - Vertex Processing 2

Outline

• Projection Transformation
  • Orthographic Projection
  • Perspective Projection
• Viewport Transformation

Projection Transformation

• View space → NDC (normalized device coordinate system)로 변환

$$\mathbf{p_c=Pp_v}$$

여기서

• $\mathbf{p_v}$: view space 좌표
• $\mathbf{P}$: projection matrix
• $\mathbf{p_c}$: clip space (또는 NDC space) 좌표

Recall that...

• 1. 객체 배치
     → Modeling transformation
• 2. "카메라" 배치
     → Viewing transformation
• 3. "렌즈" 선택 → Projection transformation
• 4. "스크린"에 출력
     → Viewport transformation

Recall: OpenGL Clip Space

• Clip Space에서는 $x, y, z$ 좌표가 $-1$에서 $1$까지인 cube 공간 안에 객체를 그릴 수 있음
• 이 공간의 $xy$ 평면이 2D viewport 역할을 함
• 이 좌표계는 normalized device coordinate (NDC) 라고 불림

Normalized Device Coordinates (NDC)

• Normalized device coordinates (NDC)는 장치에 독립적인 디스플레이 좌표계
  • 픽셀 크기, 해상도 등이 다른 다양한 디스플레이 장치에서도 프로그램이 동일하게 동작하게 하려면 정규화된 좌표계가 필요
• 이 좌표계에서의 공간을 clip space 또는 NDC space라고도 부른다
  • 단, clip space와 NDC space는 약간의 차이가 있으므로
    이는 이번 강의에서 자세히 다룸

Canonical View Volume

• Canonical view volume은 NDC 공간 내의 3차원 볼륨이며, 화면에 표시될 수 있는 장면의 영역을 정의한다.
• OpenGL 기준: $[-1,~1]^3$ 범위
• Direct3D 기준: $[0,~1]$ 범위 ($z$축만 다름)
• canonical view volume 안에 있는 객체만 렌더링된다.
  • 카메라 뷰 안에 있는 객체만 그려짐
  • 너무 멀거나 너무 가까운 객체는 제외됨

Canonical View Volume

• 관례적으로 NDC는 left-handed 좌표계임 (OpenGL과 Direct3D 모두)
  • NDC에서 $+z$ 방향이 화면 방향
• OpenGL의 projection 함수는 자동으로 좌표계 손잡이(handedness)를 바꿔줌 → world/model space는 right-handed
  • View direction in view space: $-z$ 방향
  • Direct3D는 기본적으로 left-handed system을 사용하나, 이 변경을 하지 않음

View Volume

• View space에서는 객체를 꼭 $[-1, 1]$ 범위 안에 배치할 필요는 없다.
• 대신, 원하는 크기의 직육면체(cuboid)나 frustum 형태의 volume을 설정하고 그 안에 객체를 배치할 수 있다.
• 이 view volume (및 그 안의 모든 객체)은 canonical view volume in NDC space로 투영된다.

→ Projection transformation

Projection Transformation

• CG에서의 Projection이란: 3D 좌표를 2D 화면 좌표로 매핑하는 것
• 수행 순서:
  • 3D 공간상의 arbitrary view volume → canonical view volume으로 매핑
    → Projection transformation
  • canonical view volume의 z=1 평면에 투영 (실제로 그렇게 되진 않지만, 개념적으로는 깊이(depth)를 따로 유지)
• 투영 변환 방식은 크게 2가지:
  • Orthographic projection
  • Perspective projection

Orthographic (Orthogonal) Projection

• View volume: 직육면체 (cuboid)
• Orthographic projection: 직육면체 view volume을 canonical view volume로 매핑
  • Scaling + Translation 조합
  • → Windowing transformation

Windowing Transformation

• 사각형 공간 내 점 $(p_x,~p_y)$을 다른 사각형 공간의 대응 점 $(p_x',~p_y')$로 매핑하는 변환
  • 예: $(x_l,~y_l)$ ~ $(x_r,~y_r)$ → $(x_l',~y_l')$ ~ $(x_r',~y_r')$

$$p'_x = \left( \frac{p_x - x_l}{x_r - x_l} \right)(x_r' - x_l') + x_l' \\ p'_y = \left( \frac{p_y - y_l}{y_r - y_l} \right)(y_r' - y_l') + y_l'$$

Orthographic Projection Matrix

• 3D까지 확장하고, 다음과 같이 대입:

  $$\begin{aligned} x_h &= \text{right},\quad x_l = \text{left},\quad x_h' = 1,\quad x_l' = -1 \\ y_h &= \text{top},\quad y_l = \text{bottom},\quad y_h' = 1,\quad y_l' = -1 \\ z_h &= -\text{far},\quad z_l = -\text{near},\quad z_h' = 1,\quad z_l' = -1 \end{aligned}$$

  $$\mathbf{P}_{\text{orth}} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right} - \text{left}} & 0 & 0 & -\frac{\text{right} + \text{left}}{\text{right} - \text{left}} \\ 0 & \frac{2}{\text{top} - \text{bottom}} & 0 & -\frac{\text{top} + \text{bottom}}{\text{top} - \text{bottom}} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{\text{far} - \text{near}} & -\frac{\text{far} + \text{near}}{\text{far} - \text{near}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Examples of Orthographic Projection

• Orthographic 및 등각(isometric) 투영 예시
• 객체는 카메라로부터의 거리와 무관하게 항상 동일한 크기로 보임

Properties of Orthographic Projection

• 사실적으로 보이지 않음
• 정확한 측정에 적합
• CAD, 건축 도면 등에서 가장 일반적으로 사용됨
  • 정확한 측정이 중요한 환경
• Scaling과 Translation의 조합
  → Affine transformation

[Demo] Orthographic Projection

• learnwebgl.brown37.net/08_projections/create_ortho/create_ortho.html
• 슬라이더를 움직이며 왼쪽(view volume)과 오른쪽(rendered view)을 관찰
• 왼쪽, 오른쪽, 아래, 위, 가까움, 멀리 위치를 조절 가능

Quiz 1

Perspective Effects

• 멀리 있는 객체는 작게 보임
• Vanishing point:
  • 투시 그림법에서 평행선이 수렴해 보이는 점
  • 평면 투시에서 원근감을 부여하는 핵심 요소

Perspective Projection

• View volume: Frustum (절두체) → "Viewing frustum"
• Perspective projection: Viewing frustum을 canonical view volume로 매핑
• 정점들을 canonical view volume로 비선형적으로 매핑 → 깊이에 따른 왜곡 효과 생성

Why does this mapping generate a perspective effect?

• 원래 3D 장면에서 카메라 기준으로 멀어질수록 z값 증가
• canonical 공간으로 투영할 때 z에 따라 비선형적으로 축소됨
• 가까운 객체는 크게, 먼 객체는 작게 투영됨
  → 이것이 perspective 효과의 본질

An Example of Perspective Projection

After perspective projection

• Frustum 내에 있는 객체들이 canonical 공간에 비선형적으로 압축됨
• 카메라에 가까운 객체는 더 크게, 멀리 있는 객체는 더 작게 보임
• Canonical 공간의 결과를 2D 화면에 표시
• 수평 방향: 1024px
• 수직 방향: 768px
• 카메라의 viewport 내에 객체들이 깊이에 따라 달리 표현됨

Let's first consider 3D View Frustum → 2D Projection Plane

• 3D 점을 카메라 평면에 투영하는 과정을 고려해보자.

Perspective projection

• 화면 위의 객체 크기는 카메라로부터의 거리에 반비례함

• 유사한 삼각형의 성질:

$$\frac{y'}{d} = \frac{y}{-z} \\ \Rightarrow\quad y' = \frac{-d \cdot y}{z}$$

Homogeneous coordinates revisited

• Perspective는 나눗셈 연산이 필요함
  • 이는 Affine transformation에는 포함되지 않음
• Affine에서는 평행선이 평행하게 유지됨
  • 따라서 소실점 없음
  • 뷰포인트로 수렴하는 광선도 없음
• Homogeneous coordinates의 본래 목적은 투영 구현에 있음

Homogeneous coordinates revisited

• $w = 1$ 좌표를 자리 표시자로 도입

  • translation을 선형 변환과 통합하는 데 편리

• 임의의 $w$도 허용 가능:

  $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \\ kw \end{bmatrix}$$

  • 4D 벡터의 스칼라 배수는 동일한 좌표로 간주

Perspective projection

• 투영 평면에 투영하려면, $z$를 $w$로 옮겨서 다음과 같이 변환:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-d \cdot x}{z} \\ \frac{-d \cdot y}{z} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d z & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

So far, 3D → 2D

• 지금까지는 단지
  3D View Frustum → 2D Projection Plane
  로의 투영 이야기였음

Now, 3D → 3D

• 그러나 실제로 우리가 구현해야 하는 것은
  3D View Frustum → 3D Canonical View Volume

• 즉, 원근 투영 이후에도 $(x',~y',~z')$ 좌표는 유지되어야 함
  → clip space의 깊이 정보가 필요

First, 3D View Frustum → 3D Cuboid

• 우선은 canonical volume이 아닌, near, far 평면이 같은 위치의 cuboid를 고려
• x, y 좌표에 대해 이전 슬라이드와 같은 방식으로 투영 가능:

$$y' = \frac{-d \cdot y}{z}$$

$$x' = \frac{-d \cdot x}{z}$$

• near/far offset이 동일한 cuboid를 고려
• 문제는 $z$ 좌표:
  • 깊이 $z$는 보존되지 않음 (나눗셈 연산 포함 → 비선형)
  • 해결: $z$ 값을 적절히 매핑하여 near/far 평면의 깊이 정보를 유지

3D View Frustum → 3D Cuboid

• $z$ 값까지 포함하여 전체를 행렬로 표현:

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-d x}{z} \\ \frac{-d y}{z} \\ \frac{-X}{z} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d z & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

• $x$, $y$에는 영향 없음 → $z'$는 $x$, $y$와 무관

  • 따라서 $c_0 = c_1 = 0$

• 원하는 조건:

  • $z'(-n) = n$
  • $z'(-f) = f$

• 선형식으로 $z'$ 정의:

  $$z'(z) = \frac{a z + b}{-z}$$

• 두 조건을 대입하여 해 구함:

  $$a = f n,\quad b = f + n$$

Final: 3D View Frustum → 3D Canonical View Volume

• $\mathbf{P}_{\text{pers}} = \mathbf{P}\_{\text{orth}} \cdot \mathbf{P}\_{\text{dc}}$

• $\mathbf{P}_{\text{dc}}$ 행렬 (near, far 반영):

  $$\mathbf{P}_{\text{dc}} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & f + n & f n \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

• frustum → cuboid → canonical volume 으로 변환

Perspective Projection Matrix

• 최종 perspective projection 행렬:

  $$\mathbf{P}\_{\text{pers}} = \mathbf{P}_{\text{orth}} \cdot \mathbf{P}\_{\text{dc}} = \begin{bmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f + n}{n - f} & \frac{f n}{n - f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

Note on Mapped Depth (Z' value)

• Perspective projection은 깊이 $z$값을 $(-1,~+1)$ 범위로 비선형 매핑
• 결과:
  • 카메라 가까이의 ~z~값일수록 정밀도가 높음
  • 멀수록 정밀도가 낮아짐
• 그래프:
  • $X$축: $z$ 값 (원래 깊이)
  • $Y$축: 매핑된 $z'$ 값

Perspective Division, Clip / NDC Space

• clip space: shader 이후 장면 표현 (4D homogeneous)
• NDC space: perspective division 이후의 3D 좌표계
  • $w$로 나눠서 $[x/w,~y/w,~z/w]$ 형태로 변환됨
• 실제 표현되는 범위: $[-1,~1]$

[Demo] Perspective Projection - frustum

• learnwebgl.brown37.net/08_projections/create_frustum/create_frustum.html
• 슬라이더로 left, right, top, near, far 값을 조절하며 변화 확인

[Demo] Perspective Projection - perspective

• learnwebgl.brown37.net/08_projections/create_perspective/create_perspective.html
• 슬라이더를 이용해 fovy, aspect, near, far 조절
• frustum과 perspective 중 어떤 것이 더 편리한가?

Quiz 2

Viewport Transformation

• Viewport transformation은 NDC 공간에서 화면 공간(screen space)으로 변환
• 마지막 단계의 변환: clip space → screen space
• 좌표계 범위:
  • NDC: $(-1,~-1,~-1)$ ~ $(1,~1,~1)$
  • Screen: $(0,~0,~0)$ ~ $(width,~height,~1)$

Recall that...

• 1. 객체 배치 → Modeling transformation
• 2. 카메라 배치 → Viewing transformation
• 3. 렌즈 설정 → Projection transformation
• 4. 스크린에 출력 → Viewport transformation

Viewport Transformation

• Canonical view volume (NDC)에서 $z$방향 +를 기준으로 내려다본다고 가정
• Viewport는 screen 상의 사각형 영역
• Viewport transformation도 결국 windowing transformation의 일종
• 깊이 값($z$)은 $[0,~1]$ 범위로 재매핑됨 (default depth buffer)

Viewport Transformation Matrix

• windowing transformation matrix에서,

  • $x_p$, $x_l$, $x_h$ ... 대신 viewport 변수를 대입함

• 변환 행렬:

  $$\mathbf{T}\_{\text{vp}} = \begin{bmatrix} \frac{\text{width}}{2} & 0 & 0 & \frac{\text{width}}{2} + x\_{\min} \\ 0 & \frac{\text{height}}{2} & 0 & \frac{\text{height}}{2} + y\_{\min} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• $(x_{\min},\ y\_{\min})$부터 시작하여
  $(\text{width},\ \text{height})$ 크기의 화면 좌표로 이동