4 - Affine Space / Frame / Matrix

Outline

• Affine Space - Point vs. Vector
• Coordinate System & Reference Frame
• Affine Transformation Matrix
• Interpretation of Composite Transformations

Affine Space - Point vs. Vector

• 개념적으로 point와 vector는 매우 다름
• 이 차이는 homogeneous coordinates로 표현할 수 있음
• 이 강의에서는 affine space, point와 vector의 차이점, 그리고 그것이 homogeneous coordinates와 어떻게 연결되는지를 학습함
• 이 개념은 coordinate invariant 또는 coordinate-free geometric programming이라고도 불림

(출처: http://mrl.snu.ac.kr/courses/CourseGraphics/index_2017spring.html)

Points

• Point $\mathbf{p}$, Point $\mathbf{q}$
• 이 두 점을 더한 "sum"은 무엇인가?

If you assume coordinates, …

• $\mathbf{p} = (x_1,~y_1)$
• $\mathbf{q} = (x_2,~y_2)$
• 합: $(x_1+x_2,~y_1+y_2)$
  • 이게 맞는가?
  • 기하학적으로 의미가 있는가?
• 동일한 좌표 표현에서,
• $\mathbf{p} = (x_1,~y_1)$
• $\mathbf{q} = (x_2,~y_2)$
• $(x_1+x_2,~y_1+y_2)$는 단순한 합이 아닌,
  원점에서 $\mathbf{p}$와 $\mathbf{q}$까지 가는 vector의 합으로 간주해야 함
  → Vector sum

If you select a different origin, …

• $\mathbf{p} = (x_1,~y_1)$
• $\mathbf{q} = (x_2,~y_2)$
• $(x_1+x_2,~y_1+y_2)$의 의미는
  좌표계(원점)가 어디인지에 따라 달라짐
• 즉, 다른 coordinate frame을 선택하면 결과도 달라짐

Points and Vectors

• point는 좌표값으로 정의된 위치
• vector는 두 점 사이의 차이로 정의됨
• 원점이 정의되었다면, point는 원점에서 해당 point까지의 vector로 표현 가능
• 하지만 coordinate-free 관점에서는 point는 vector가 아님

Points & Vectors are Different!

• 수학적(또는 물리적)으로,
  • Point는 공간상의 위치
  • Vector는 공간상의 변위
• 시간에 비유하면 다음과 같음:
  • datetime은 시간의 위치
  • duration은 시간의 변위

Vector and Affine Spaces

• Vector space
  • 벡터와 그 연산 포함
  • 점(points)은 포함하지 않음
• Affine space
  • vector space의 상위 개념
  • 벡터, 점, 그에 관련된 연산 모두 포함

Vector spaces

• A vector space는 다음으로 구성됨:
  • 벡터 집합과
  • 두 가지 연산:
    • 벡터 간 덧셈
    • 스칼라 곱

Linear Combination

• 벡터들의 선형 결합(linear combination) 또한 벡터임

$$\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n \in V \\ \Rightarrow c_0 \mathbf{u}_0 + c_1 \mathbf{u}_1 + \dots + c_n \mathbf{u}_n \in V$$

Affine Spaces

• An affine space는 다음으로 구성됨:
  • 점들의 집합, 관련된 벡터 공간
  • 두 가지 연산:
    • 두 점의 차이
    • 점 + 벡터

Coordinate-Free Geometric Operations

• 덧셈 (Addition)
• 뺄셈 (Subtraction)
• 스칼라 곱 (Scalar multiplication)

Addition

• $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$: vectors
• $\mathbf{p}, \mathbf{q}$: points
  라고 할 때,
• $\mathbf{u} + \mathbf{v} \rightarrow$ vector
• $\mathbf{p} + \mathbf{w} \rightarrow$ point

Subtraction

• $\mathbf{u} - \mathbf{v} \rightarrow$ vector
• $\mathbf{p} - \mathbf{q} \rightarrow$ vector
• $\mathbf{p} - \mathbf{w} \rightarrow$ point

Scalar Multiplication

• 스칼라 ⋅ 벡터 = 벡터
  • $c \cdot \mathbf{v} \rightarrow$ vector
• $1 \cdot$ point = point
• $0 \cdot$ point = vector
• $c \cdot$ point = (undefined) $~\text{if} ~(c \neq 0,~1)$

Affine Frame

• A frame은 다음으로 정의됨:
  • 벡터들의 집합 $ \{ \mathbf{v}_i~| ~ i = 1, \dots, N \}$
  • 기준점 $\mathbf{o}$
• 벡터들의 집합 $\{\mathbf{v}_i\}$는 해당 vector space의 bases
• $\mathbf{o}$는 해당 frame의 origin
• $N$은 affine space의 dimension
• 임의의 점 $\mathbf{p}$는 다음과 같이 표현됨:

$$\mathbf{p} = \mathbf{o} + c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \mathbf{v}_n$$

• 임의의 벡터 $\mathbf{v}$는 다음과 같이 표현됨:

$$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \mathbf{v}_n$$

Summary

• Affine space에서:

$$\begin{aligned} \mathbf{p} + \mathbf{p} & = \text{(undefined)} \\ \mathbf{p} - \mathbf{p} & = \text{vector} \\ \mathbf{p} \pm \mathbf{v} & = \text{point} \\ \mathbf{v} \pm \mathbf{v} & = \text{vector} \\ c \cdot \mathbf{v} & = \text{vector} \\ 1 \cdot \mathbf{p} & = \text{point} \\ 0 \cdot \mathbf{p} & = \text{vector} \\ c \cdot \mathbf{p} & = \text{(undefined)} \quad (c \neq 0, 1) \end{aligned}$$

Points & Vectors in Homogeneous Coordinates

• Homogeneous coordinates에서는,
  • 3D point: $ (x, y, z, \mathbf{1}) $
  • 3D vector: $ (x, y, z, \mathbf{0}) $

$\rightarrow$ 이 표현은 coordinate-free geometric programming의 개념과 완전하게 일치하는 모델을 제공함

예시:

$$(x_1, y_1, z_1, 1) + (x_2, y_2, z_2, 1) \\ = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, 2) \rightarrow \text{point (undefined)}$$

$$(x_1, y_1, z_1, 1) - (x_2, y_2, z_2, 1) \\ = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2, 0) \rightarrow \text{vector}$$

$$(x_1, y_1, z_1, 1) + (x_2, y_2, z_2, 0) \\ = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, 1) \rightarrow \text{point}$$

$$(x_1, y_1, z_1, 0) + (x_2, y_2, z_2, 0) \\ = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, 0) \rightarrow \text{vector}$$

$$c \cdot (x, y, z, 0) \\ = (cx, cy, cz, 0) \rightarrow \text{vector}$$

$$c \cdot (x, y, z, 1) \\ = (cx, cy, cz, c) \rightarrow \begin{cases} \text{point} & \text{if } c = 1 \\ \text{vector} & \text{if } c = 0 \\ \text{undefined} & \text{if } c \ne 0, 1 \end{cases}$$

• Affine transformation matrix와 point, vector의 곱:

$$\begin{bmatrix} \mathbf{M} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\mathrm{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{M} \mathbf{p} + \mathbf{t} \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \text{point}$$

$$\begin{bmatrix} \mathbf{M} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\mathrm{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{v} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{M} \mathbf{v} \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \text{vector}$$

→ translation은 vector에는 적용되지 않음!

Quiz 1

Coordinate System & Reference Frame

• Coordinate system

  • 점의 위치를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자 또는 좌표를 사용하는 체계

• Reference frame

  • 추상적인 좌표계 + 실제 기준점
  • 좌표계를 고정시키기 위해 사용됨

• 이 두 용어는 종종 혼용되지만, 의미에는 약간의 차이가 있음

World / Body Frame (or Coordinate System)

• World frame (or coordinate system)

  • 세계에 고정된 좌표계
  • aka. global frame, fixed frame

• Body frame (or coordinate system)

  • 물체에 고정된 좌표계
  • aka. local frame

Meanings of Affine Transformation Matrix

• 하나의 affine transformation matrix는
  여러 관점에서 해석 가능함

1) Affine Transformation Matrix Transforms a Geometry w.r.t. World Frame

• 행렬 $\mathbf{M}$은 기하 객체의 각 vertex 위치를 world frame 기준에서 새로운 위치로 변환

• 변환 포함: translate, rotate, scale 등

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & u_x \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & u_y \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & u_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• $\mathbf{M}$을 곱하면 geometry가 world frame에서 다른 위치로 이동된 결과를 얻게 됨

Review: Affine Frame

• Affine frame (3D 공간 기준)은 다음으로 정의됨:
  • $x,~y,~z$축을 나타내는 3개의 벡터
  • 1개의 원점 위치(좌표)

World Frame

• World frame은 보통 다음으로 표현됨:
  • 표준 축 벡터

    $$\hat{\mathbf{e}}_x = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}~ \hat{\mathbf{e}}_y = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}~ \hat{\mathbf{e}}_z = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

  • 원점

    $$\mathbf{0}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$

Let’s Transform a "World Frame"

• $\mathbf{M}$을 world frame에 곱하면, 각 축 벡터 및 원점이 변환됨:

$\text{x-axis:} \quad \mathbf{M} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ : 첫 번째 column

$\text{y-axis:} \quad \mathbf{M} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ : 두 번째 column

$\text{z-axis:} \quad \mathbf{M} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$ : 세 번째 column

$\text{origin:} \quad \mathbf{M} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$ : 네 번째 column

2) Affine Transformation Matrix Defines an Affine Frame w.r.t. World Frame

• 행렬 $\mathbf{M}$은 기준 프레임 $\{0\}$ 기준으로 표현된 body frame $\{1\}$을 정의
• $\mathbf{M}$의 각 column은 다음을 나타냄:
  • 앞의 3개 column: 축 벡터
  • 마지막 column: 원점 위치

→ $\mathbf{M}$은 body frame $\{1\}$을 world frame $\{0\}$ 기준으로 표현한 것

Examples

• 같은 물체의 body frame을 두 방식으로 정의:
  1. world frame과 동일한 위치일 때
  2. 이동된 위치에서 정의될 때

→ 두 경우 모두 $\mathbf{M}$은 body frame을 world 기준으로 표현함

3) Affine Transformation Matrix Transforms a Point in Body Frame to (the same) Point (but) represented in World Frame

• $ \mathbf{p}^{\{1\}} = \begin{bmatrix}1 \ 1 \ 0\end{bmatrix} $
  (body frame $\\{1\\}$ 기준의 점)

$$\mathbf{p}^{\\{0\\}} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{p}^{\\{1\\}}$$

• 같은 점을 world frame $\\{0\\}$ 기준으로 표현한 것
  Why?
• 동일한 물체를 body frame에서 보다가 $\mathbf{M}$을 통해 world frame 기준 표현으로 변환한 것:

$$\mathbf{p}^{\\{0\\}} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{p}^{\\{1\\}}$$

• 단순히 geometry를 변환한 이야기임

Directions of the "arrow"

• 첫 번째 의미
  • geometry 자체를 transform (frame은 그대로)
  • $\mathbf{M}$은 변환의 방향을 나타냄: ${\\{0\\}}\rightarrow{\\{1\\}}$
    → $\mathbf{p}^{\\{0\\}}$가 변환되어 $\mathbf{p}^{\\{1\\}}$이 됨.
• 두 번째 의미
  • frame 자체의 변환
  • ${\\{1\\}}$ 프레임이 ${\\{0\\}}$ 기준으로 어떻게 보이는지를 나타냄
• 세 번째 의미
  • $\mathbf{p}$라는 점이 표현되는 프레임 자체를 바꾸는 과정 → "표현의 기준"이 바뀜: $\\{0\\}$에서 본 $\mathbf{p}$를 $\\{1\\}$에서 본 $\mathbf{p}$로 변환하는 것

Quiz 2

All these concepts work even if the starting frame is not world frame!

• 시작 프레임이 world frame이 아니어도, 지금까지의 모든 개념은 그대로 적용 가능

{0} to {1}

• $\mathbf{M}_1$은 다음을 수행:
  1. 프레임 $\{0\}$ 기준에서 geometry를 변환
  2. 프레임 $\{0\}$ 기준에서 프레임 $\{1\}$을 정의
  3. 프레임 $\{1\}$ 기준의 점을 $\{0\}$ 기준으로 표현

     $$\mathbf{p}^{\{0\}} = \mathbf{M}_1 \cdot \mathbf{p}^{\{1\}}$$

{1} to {2}

• $\mathbf{M}_2$는 다음을 수행:
  1. 프레임 $\{1\}$ 기준에서 geometry를 변환
  2. 프레임 $\{1\}$ 기준에서 프레임 를 정의
  3. 프레임 $\{2\}$ 기준의 점을 $\{1\}$ 기준으로 표현

     $$\mathbf{p}^{\{1\}} = \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{p}^{\{2\}}$$

{0} to {2}

• $\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2$는 다음을 수행:
  1. 프레임 $\{0\}$ 기준에서 geometry를 변환
  2. 프레임 $\{0\}$ 기준에서 프레임 $\{2\}$를 정의
  3. 프레임 $\{2\}$ 기준의 점을 $\{0\}$ 기준으로 표현

     $$\mathbf{p}^{\{0\}} = \mathbf{M}_1 \cdot \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{p}^{\{2\}}$$

Revisit: Order Matters!

• $\mathbf{T}, \mathbf{R}$이 affine transformation을 나타내는 행렬일 때:

$$\mathbf{p}' = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{p}$$

먼저 $\mathbf{R}(\mathbf{p})$를 적용한 뒤, 그 결과에 $\mathbf{T}$를 적용

$$\mathbf{p}' = \mathbf{R} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{p}$$

먼저 $\mathbf{T}(\mathbf{p})$를 적용한 뒤, 그 결과에 $\mathbf{R}$을 적용

• → 행렬의 곱셈 순서는 매우 중요함!
  • 결합법칙은 성립하지만 교환법칙은 성립하지 않음: $AB \ne BA$

Composite(복합) Transformations의 Interpretation(해석)

• 예시 transformation:

  $$\mathbf{M} = \mathbf{T}(x,~3) \cdot \mathbf{R}(-90^\circ)$$

• 지금까지 해석했던 방식:
  • $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{T}$ 순서로 적용
  • $\mathbf{R}$은 world frame 기준 변환

$$\mathbf{p} \xrightarrow{\mathbf{R}(-90^\circ)} \mathbf{R}(\mathbf{p}) \\\xrightarrow{\mathbf{T}(x, 3)} \mathbf{p}' = \mathbf{T}(\mathbf{R}(\mathbf{p}))$$

• 다른 해석 방식:
  • $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{T}$ 순서가 아닌, $\mathbf{T} \rightarrow \mathbf{R}$ 순서로 해석
  • 즉, body frame 기준에서 해석하는 방식

$$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{T}(\mathbf{p}) \rightarrow \mathbf{R}(\mathbf{T}(\mathbf{p})) = \mathbf{M}(\mathbf{p}) = \mathbf{p}'$$

→ 동일한 행렬이라도 기준 프레임에 따라 해석이 달라질 수 있음

Pre-(left) & Post-(right) Multiplication

Pre-multiplication:

$$\mathbf{p}' = \mathbf{M}_1 \cdot \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{p} \\ (\text{pre-multiplication by } \mathbf{M}_1)$$

→ Right-to-Left 순서

1. $\mathbf{M}_2$를 world frame 기준으로 적용하여 $\mathbf{p}$를 변환
2. 그 결과에 $\mathbf{M}_1$을 다시 world frame 기준으로 적용

→ 전체 변환은 $\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2$

Post-multiplication:

$$\mathbf{p}' = \mathbf{M}_1 \cdot \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{p} \\ (\text{post-multiplication by } \mathbf{M}_1)$$

→ Left-to-Right 순서

1. $\mathbf{p}$는 body frame $\\{1\\}$ 기준에서 표현되어 있음
2. $\mathbf{M}_1$은 body frame $\\{1\\}$을 world frame 기준으로 업데이트함
3. $\mathbf{M}_2$는 이어서 body frame $\\{2\\}$로 업데이트함
4. 결과적으로 $\mathbf{p}$는 body frame $\\{2\\}$ 기준에서 표현됨

→ 전체 변환은 여전히 $\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2$

또 다른 유용한 해석법

1. $\mathbf{M}_1$: world frame 기준으로 적용하여 body frame을 $\mathbf{M}_1$으로 업데이트
2. $\mathbf{M}_2$: 다시 world frame 기준으로 적용하여 body frame을 $\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2$로 업데이트
3. $\mathbf{p}$를 새로운 body frame $\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2$ 기준으로 위치시킴

[Demo] L-to-R & R-to-L Interpretation

observablehq.com/@esperanc/transformation-demo

• 다양한 순서로 translation 및 선형 변환 추가 ( '+' 버튼 사용)
• 슬라이더를 드래그하여 행렬 값의 변화 및 도형의 변화를 관찰
• 합성 변환의 의미를 L-to-R, R-to-L 순서로 해석해보세요